Des études d'optimisation, concernant l'orientation optimale de la normale à une voile solaire plane font apparaître les difficultés d'un pilotage continu de la voile. Nous envisageons donc l'étude d'un pilotage simplifié, consistant à garder le plus longtemps possible une poussée d'orientation galiléenne fixe, pouvant déboucher sur une mise en œuvre facile, mais bien sûr non optimale.

V. Béletski spécialiste russe éminent de mécanique spatiale a dans son ouvrage "Essais sur le mouvement des corps cosmiques" aux Editions Mir Moscou, redonné vie à un vieux problème oublié, celui du mouvement d'un satellite dans un champ newtonien soumis de plus à une perturbation d'intensité et de direction constante dans un repère inertiel.

L’étude porte essentiellement sur une approche analytique du problème, avec confirmation numérique.

Ainsi si nous supposons la voile orientée par une normale à direction inertielle fixe, la force photonique perturbatrice F créée sur le voilier solaire est un vecteur constant. Nous sommes donc bien dans le cadre du "vieux problème" de Béletski.

CAS ENVISAGE: Orbite de départ elliptique de foyer O, caractérisée par a et e, située dans l'écliptique.

Etude limitée dans un premier temps à l'évolution du grand axe, de manière à dégager des idées directrices simples.

On rappelle que la force photonique dans le cas d'une réflexion spéculaire parfaite s'exprime par

La condition nécessaire d'éclairement de la bonne face de la voile est

L'étude de la trajectoire peut être entreprise en considérant l'accélération photonique comme une accélération perturbatrice petite agissant sur des durées très longues.

A chaque instant on identifie les caractéristiques essentielles de la trajectoire perturbée à ceux de la trajectoire képlérienne non perturbée, appelée aussi osculatrice ( c'est à dire soumise, à compter de cet instant, à la seule accélération centrale due au champ de gravitation newtonien en 1/r ).

Il en sera ainsi du demi grand axe a de l'ellipse osculatrice et de l'excentricité e.

Nous savons que si V désigne la vitesse et r le rayon vecteur mesuré depuis le corps central l'énergie spécifique E ( par kg envoyé ) vaut :

L'énergie totale mécanique est, on le rappelle, Em=T + U = mE:

Le théorème de l'énergie cinétique indique que la différentielle de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux élémentaires de toutes les forces en jeu sur le satellite. Ici ces forces se réduisent à 2, la gravitation et la poussée photonique du moins dans le cas simplifié qui nous intéresse.

Après intégration, compte tenu du vecteur F constant, il vient une intégrale première du mouvement :

Finalement tous calculs effectués, il vient la dérivée du demi grand axe par rapport au temps:

On obtient ainsi, en intégrant exactement la dérivée de a, une relation géométrique intéressante car n est constant

CAS LE PLUS FAVORABLE : Le soleil est à la verticale du périgée et la normale n est parallèle au grand axe. Dans ces conditions le gain est maximal et vaut 800 m/tour.

Par exemple, pour un lancement par Ariane V, nous savons que le périgée de l'orbite GTO est situé vers 620 km du sol terrestre, altitude où les effets de la traînée atmosphérique, même sur un voilier, sont plutôt faibles.

Pour nous rassurer nous simulons l'effet de la traînée entre les altitudes 600 et 100 km.

Temps de vol avec traînée: environ 1200 secondes

A 650 km la perte n'est plus que de 63 m/jour.

A 700 km la perte n'est plus que de 23 m/jour.

Par contre l'excentricité varie, ce qui conduit à une variation du périgée ce qu'il nous faudra étudier plus tard.

Si l'on veut obtenir uniquement un gain d'énergie ou encore une augmentation du grand axe, il faut laisser agir la force photonique constante dans toute la partie de la trajectoire où le travail élémentaire de la force photonique dW = F.V dt , ce qui est pour le moins évident.

On limitera donc l'action de la force constante à la portion délimitée par les points A et B de la trajectoire où la vitesse est normale au vecteur n, il n'y a que ces deux points A et B sur une ellipse qui répondent à cette condition

1 - La voile est maintenue dans une attitude fixe par rapport au repère inertiel, par exemple toujours normale aux rayons incidents ( facilité de repérage d'attitude par rapport au soleil par un senseur solaire ).

2 - Navigation entre A et B sur la portion de l'ellipse avec lumière arrière. On profite donc de l'augmentation du grand axe.

3 - Manœuvre en A et B pour disposer la voile en drapeau par rapport au rayons du soleil, le grand axe n'évolue plus. Navigation lumière de face et voile en drapeau.

4 - A l'approche du périgée, mise en drapeau par rapport à la vitesse au périgée, pour éviter un freinage aérodynamique excessif Autant dire avec la normale parallèle au grand axe.